2019年01月04日 11:31 | 阅读(43) | 评论(0)饮马问题的拓展与应用

【走进数学故事】
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
[对称性在初等数学到高等数学中都有着广泛的应用，利用对称性求最值的问题将伴随着学生从小学到大学的数学学习过程．在恰当的时机引领学生进行合理的探索，显得迫切而必要．]
【探索数学本真】
如图所示，从 出发向河岸引垂线，垂足为，在 的延长线上，取 关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于，则 点就是饮马的地方，将军只要从 出发，沿直线走到，饮马之后，再由 沿直线走到，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点 饮马，所走的路程就是，但是=＞．可见，在 点外任何一点 饮马，所走的路程都要远一些．由作法可知，河流 相当于线段 的中垂线，所以．将军走的路程就是，就等于，而两点确定一条直线，所以当 点为直线 与直线 的交点时，最短．
当然，若取 点的对称点，连结，结论亦然．
[初中阶段的图形变换包括对称变换、平移变换、旋转变换与相似变换，通过对称变换的探索，使学生掌握研究图形变换的思想方法，实现思维迁移，达到举一反三的作用．]
【初步感知变式】
变式1、如图，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的
距离BD是1千米，并且C、D的距离为4千米，在直线L上找一
点P，使PA+PB的值最小，并求这个最小值．
分析：作点A关于直线L的对称点，当点P为直线 与
直线L的交点时，PA+PB最短．因为，，
∠H=90°，所以，即PA+PB的最小值为 千米．
变式2、如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）
到定点P（，1）和到Q（4，5）的距离分别为MP和MQ，
那么当MP+MQ取最小值时，求点M的横坐标．
分析：作点P（，1）关于x轴的对称点 （，），
当M为直线 与x轴的交点时，MP+MQ的值最小．
由 （，），Q（4，5）可得直线 的解析式
为，所以点M的横坐标为．
变式3：在直角坐标系中，有四个点A（，1）、B（，5）、
C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，
求 的值．
分析：分别作A、B关于x轴、y轴的对称点、，当C、D
为直线 与x轴、y轴的交点时，四边形ABCD的周长最短．
由 （，）、（4，5）可得直线 的解析式为
，所以点C（0，3）、D（，0），所以 的
值为．
[饮马问题的核心是怎样化归为两点之间线段最短．通过设置不同的问题背景，在变式
过程中让学生感悟这种化归思想，提升学生分析问题与解决问题的能力．]
【探索拓展应用】
拓展1  如果饮马人从图中的A点出发到笔直的河岸 去饮马，且沿河走一段路程a，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？
分析：考虑到饮马人必须在河边走一段路程a，然后再去B地，
可以先将点B平移至E点，在按“饮马问题”的模型来解．
作A点关于直线 的对称点，过点B作BE∥，且BE=a，
连结 交 于P，在 上截取PD=a，且B、D在直线EP的同侧，采取的路线为A→P→D→B，可使总路程最短．
例1、如图，已知点A（3，4），点B的坐标为（，1），
在x轴上另取两点E、F（F在E的右侧），且EF=1．线段EF
在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长
最小？求出此时点E的坐标．
分析：四边形ABEF的四条边中AB与EF是不变的，为了使周长最小，
就是让BE+AE最小．将点A（3，4）向左平移一个单位至 （2，4），
作点B关于x轴的对称点 （，），当点E为直线 与x轴的
交点时，符合题意．因为直线 的解析式为，所以点E
的坐标为（，0）．
拓展2  如图，如果饮马人从点A出发，先到笔直的草地边 的某一处牧马，再到笔直的河岸 去饮马，然后回到B处，走什么样的路线最短？
分析：本题实际上是“饮马问题”的组合，分别作点A关于 的对称点，点B关于 的对称点，就可找到最短的线路．连结 分别交直线、于P、Q，连结AP、PQ、BQ，采取的路线为A→P→Q→B，可使总路程最短．
例2、如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点
Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是
               
；
当△PQR周长最小时，∠QPR的度数=             ．
分析：分别作点P关于OA、OB的对称点、，根据轴对称
性质可知：，，所以当点Q、R为直线
分别与OA、OB的交点时，△PQR的周长最小．因为△
是等腰直角三角形，，△PQR的周长最小值为．
∵∠=∠=45⁰，∠=∠=45⁰，∴∠QPR的度数为90°．
拓展3  如图，如果饮马人从AC上的一点P出发，先到笔直的
草地边AB的某一处牧马，再到与草地边AB垂直的笔直河岸BC
去饮马，然后回到P处，如何确定点P的位置走的路线最短？
分析：分别作点P关于AB、AC的对称点、，连结、，
可证≌，可得、、三点共线，所以折线
、、的最短路程是．因为平行线之间
垂线段最短，当⊥时，最短．
例3：如图所示，已知 中，，，，
分别是三边 上的点，则 的
最小值为           ．
分析：由以上分析可知：的最小值为，
而当 与 垂直时，的值最小．由，
可得，，，所以这个最小值为．
[饮马问题的拓展变式在中考、竞赛与提前招生中屡屡出现，引导学生经历拓展过程，对于激发学生学习数学的乐趣，提高思维与探索能力，不无裨益．当然，更加期待新的拓展与变式的出现．]
【总结归纳升华】
通过一系列的探索可知，将军饮马问题的实质：（1）求最短路线问题，通过几何变换找对称图形；（2）把A、B两点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线；（3）利用“两点之间线段最短”与“平行线之间垂线段最短”加以解决．
【结束语】
今天我们共同经历了“饮马问题”应用与拓展的探索旅程，相信你会有所感触．请你延续这种学习方法与探究方式，你会发现数学其实很好玩，你会发现数学更多的乐趣、更多的美．