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数学上有一种思想叫化归，就是把复杂的都化为简单来计算． 在平面上，对于多变形都可以化为三角形的计算公式，而三角形的计算公式最本质的面积公式是正弦定理． 其次就是圆了，圆面积的本质上是一条半径扫过一周后形成的区间大小．所以圆面积лr^2的得来可以这样理解：半径的中点绕圆心一周得到的周长．为什么这么说呢？可以用一个物理原理来解释：一个圆盘的质量是体积和密度的积．设高度和密度都是单位1，半径的质量为r，所有半径质量的和，半经的个数为半径质点（位于其中点处）绕圆心的周长数．这样就可以得到原面积为2лr*（r/2）=лr^2 根据这样的原理扇形面积可以同样得到：半径质点绕圆心转一定角度得到的和． 

有了以上的概念，那么求任意旋转体的表面积和体积就很简单了． 表面积：母线的质心绕一周得到和． 体积：旋转面的质心绕轴得到． 数学上有个公式叫万能公式 

2tan（α/2）sinα=------1+tan2（α/2）1-tan2（α/2）cosα=------1+tan2（α/2）2tan（α/2）tanα=------1-tan2（α/2）







半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

　　sin^2（α/2）=（1-cosα）/2

　　cos^2（α/2）=（1+cosα）/2

　　tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）

　　另也有tan（α/2）=（1-cosα）/sinα=sinα/（1+cosα）

万能公式

　　万能公式

　　sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]

　　cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]

　　tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]

万能公式推导

　　附推导：

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））…*，

　　（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）

　　再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α=2tanα/（1+tan^2（α））

　　然后用α/2代替α即可．

　　同理可推导余弦的万能公式．正切的万能公式可通过正弦比余弦得到．

三倍角公式

　　三倍角的正弦、余弦和正切公式

　　sin3α=3sinα-4sin^3（α）

　　cos3α=4cos^3（α）-3cosα

　　tan3α=[3tanα-tan^3（α）]/[1-3tan^2（α）]

三倍角公式推导

　　附推导：

　　tan3α=sin3α/cos3α

=（sin2αcosα+cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα）

=（2sinαcos^2（α）+cos^2（α）sinα-sin^3（α））/（cos^3（α）-cosαsin^2（α）-2sin^2（α）cosα）

　　上下同除以cos^3（α），得：

　　tan3α=（3tanα-tan^3（α））/（1-3tan^2（α））

　　sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2（α）+（1-2sin^2（α））sinα

=2sinα-2sin^3（α）+sinα-2sin^3（α）

=3sinα-4sin^3（α）

　　cos3α=cos（2α+α）=cos2αcosα-sin2αsinα

=（2cos^2（α）-1）cosα-2cosαsin^2（α）

=2cos^3（α）-cosα+（2cosα-2cos^3（α））

=4cos^3（α）-3cosα

　　即

　　sin3α=3sinα-4sin^3（α）

　　cos3α=4cos^3（α）-3cosα

三倍角公式联想记忆

★记忆方法：谐音、联想

　　正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了（被减成负数），所以要"挣钱"（音似"正弦"））

　　余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有"余"）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示．

★另外的记忆方法：

　　正弦三倍角：山无司令 （谐音为 三无四立） 三指的是"3倍"sinα，无指的是减号，四指的是"4倍"，立指的是sinα立方

　　余弦三倍角：司令无山 与上同理

和差化积公式

　　三角函数的和差化积公式

　　sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]•cos[（α-β）/2]

　　sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]•sin[（α-β）/2]

　　cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]•cos[（α-β）/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]•sin[（α-β）/2]

积化和差公式

　　三角函数的积化和差公式

　　sinα•cosβ=0.5[sin（α+β）+sin（α-β）]

　　cosα•sinβ=0.5[sin（α+β）-sin（α-β）]

　　cosα•cosβ=0.5[cos（α+β）+cos（α-β）]

　　sinα•sinβ=-0.5[cos（α+β）-cos（α-β）]

和差化积公式推导

　　附推导：

　　首先，我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb

　　我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb

　　所以，sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

　　同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

　　同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb

　　所以，把两式相加，我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb

　　所以我们就得到，cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

　　同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

　　这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

　　sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2

　　cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2

　　cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2

　　sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2

　　好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式．

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=（x+y）/2，b=（x-y）/2

　　把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

　　sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

　　sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）

　　cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）

　　cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）