Silhouette 正德厚生，笃学敏行——南京师范大学

等容过程，系统不做体积功，当升高温度时，它从环境中吸收的热全部用来增加热力学能．但在等压过程中，升高温度时，系统除增加热力学能外，还要多吸收一部分热以对外作膨胀功．因此对于气体来说，C_p恒大于C_v．
对于任意系统，如何求算C_p与C_v之差呢？
首先根据定义式：${C}_{p}=（\frac{∂H}{∂T}）_{p}$，${C}_{V}=（\frac{∂U}{∂T}）_{V}$，
其次考虑到H=U+pV，
所以C_p-C_v=$（\frac{∂U}{∂T}）_{p}+p（\frac{∂V}{∂T}）_{p}-（\frac{∂U}{∂T}）_{V}$，
注意到$（\frac{∂U}{∂T}）_{p}$与$（\frac{∂U}{∂T}）_{V}$二者是不相等的，存在一个关系式：
$（\frac{∂U}{∂T}）_{p}=（\frac{∂U}{∂T}）_{V}+（\frac{∂U}{∂V}）_{T}（\frac{∂V}{∂T}）_{p}$
所以最终得到一个普适公式：C_p-C_v=$[p+（\frac{∂U}{∂V}）_{T}]（\frac{∂V}{∂T}）_{p}$，
而对于理想气体，考虑理想气体状态方程：pV=nRT，接下来推导则是两种思想，但是殊途同归：
①根据Gay-Lussac-Joule实验，得出$（\frac{∂U}{∂V}）_{T}=0$，
于是C_p-C_v=$p（\frac{∂V}{∂T}）_{p}$=nR，
②基于$（\frac{∂U}{∂V}）_{p}$继续推导，借助热力学基本方程之一：dU=-pdV+TdS，
则有$（\frac{∂U}{∂V}）_{T}=-p+（\frac{∂S}{∂V}）_{T}$，
再根据Maxswell方程：$（\frac{∂S}{∂V}）_{T}=（\frac{∂p}{∂T}）_{V}$，
所以最终C_p-C_V=nR．